《高等数学（上册）》是高等学校大学数学教学研究与发展中心项目“应用型本科院校理工类高等数学课程的教学内容改革与创新能力的培养”的研究成果。《高等数学（上册）》力求结构严谨、逻辑清晰、叙述详细、通俗易懂。在教材内容的组织上强调数学概念与实际问题的联系，注重数学史与数学文化内容的渗透，以期提高学生的科学素养和应用数学的意识和能力。书中有较多的例题和习题，便于自学，每章所配的总练习题大多来源于近年考研数学的真题，有利于优秀学生课后学习和提高训练。《高等数学（上册）》分上、下册出版。《高等数学（上册）》为上册，内容包括：函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分和微分方程等7章，并附有常用数学符号简介和习题答案与提示。《高等数学（上册）》可作为高等学校理工类非数学专业的教材，也可供广大教师和工程技术人员参考。
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目录
序言
前言
第1章 函数 1
1.1 函数的概念 1
1.1.1 函数的定义 1
1.1.2 函数的表示法 2
1.1.3 关于函数基本概念的例 4
习题1-1 5
1.2 具有某种特性的函数 6
1.2.1 单调函数 6
1.2.2 奇偶函数 7
1.2.3 有界函数 8
1.2.4 周期函数 10
习题1-2 11
1.3 初等函数 11
1.3.1 函数的四则运算 11
1.3.2 反函数 12
1.3.3 复合函数 14
1.3.4 基本初等函数 16
1.3.5 初等函数 20
习题1-3 21
1.4 简单函数关系的建立 22
1.4.1 建立函数关系的几个实例 22
1.4.2 经济学中常见的函数关系简介 24
习题1-4 25
总习题一 26
阅读材料1 函数概念的形成与发展 28
第2章 极限与连续 30
2.1 数列的极限 30
2.1.1 数列 30
2.1.2 数列极限的定义 31
2.1.3 收敛数列的性质与极限的四则运算法则 37
习题2-1 40
2.2 函数的极限 41
2.2.1 自变量趋于无穷大时的函数极限 41
2.2.2 自变量趋于有限值时的函数极限 43
2.2.3 函数极限的性质 46
2.2.4 函数极限的运算法则 48
习题2-2 51
2.3 极限存在的判别准则和两个重要极限 52
2.3.1 夹逼准则 52
2.3.2 单调有界准则 55
2.3.3 利用两个重要极限计算极限的例 59
习题2-3 61
2.4 无穷小量和无穷大量 61
2.4.1 无穷小量的定义和性质 61
2.4.2 无穷大量的定义和性质 63
2.4.3 无穷小量阶的比较 65
2.4.4 无穷小的等价代换 67
习题2-4 69
2.5 函数的连续性 70
2.5.1 函数连续的定义 71
2.5.2 函数的间断点及其分类 73
2.5.3 连续函数的运算法则与初等函数的连续性 75
习题2-5 77
2.6 闭区间上连续函数的性质 78
2.6.1 最大值和最小值定理 79
2.6.2 零点定理与介值定理 80
习题2-6 83
总习题二 83
阅读材料2 数学悖论与三次数学危机 86
第3章 导数与微分 90
3.1 导数的概念 90
3.1.1 引例 90
3.1.2 导数的定义 92
3.1.3 导数的几何意义 96
3.1.4 函数的可导性与连续性的关系 98
习题3-1 99
3.2 函数的求导法则 100
3.2.1 导数的四则运算法则 101
3.2.2 反函数的求导法则 103
3.2.3 复合函数的求导法则 104
习题3-2 108
3.3 几类特殊函数的导数 109
3.3.1 抽象函数的导数 109
3.3.2 分段函数的导数 110
3.3.3 隐函数的导数 112
3.3.4 由参数方程确定的函数的导数 113
3.3.5 相关变化率 115
习题3-3 117
3.4 高阶导数 118
3.4.1 高阶导数的定义 118
3.4.2 求高阶导数举例 119
3.4.3 高阶导数的运算法则 123
习题3-4 124
3.5 函数的微分 125
3.5.1 微分的定义 125
3.5.2 函数可微的条件 127
3.5.3 微分的几何意义 128
3.5.4 微分的运算法则 129
3.5.5 微分在近似计算中的应用 131
习题3-5 132
总习题三 133
阅读材料3 博学多才的符号大师——莱布尼兹 136
第4章 微分中值定理与导数的应用 139
4.1 微分中值定理 139
4.1.1 函数极值与费马定理 139
4.1.2 微分中值定理 141
习题4-1 146
4.2 洛必达法则 148
4.2.型不定式极限的L'Hospital法则 148
4.2.2 型不定式极限的L'Hospital法则 150
4.2.3 其他类型的不定式极限的计算 151
习题4-2 154
4.3 泰勒公式 156
4.3.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 156
4.3.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 158
4.3.3 泰勒公式的应用举例 161
习题4-3 165
4.4 函数的单调性、极值和最值 166
4.4.1 函数的单调性 166
4.4.2 函数的极值 168
4.4.3 函数的最大值和最小值 172
习题4-4 176
4.5 曲线的凹凸性与拐点 178
习题4-5 182
4.6 函数图形的描绘 182
4.6.1 曲线的渐进线 183
4.6.2 函数图形的描绘 185
习题4-6 187
4.7 曲线的曲率 188
4.7.1 弧微分 188
4.7.2 平面曲线的曲率 189
4.7.3 曲率的计算公式 190
4.7.4 曲率圆与曲率半径 192
习题4-7 194
总习题四 194
阅读材料4 科学巨擘——牛顿 197
第5章 不定积分 200
5.1 不定积分的概念 200
5.1.1 原函数与不定积分的概念 200
5.1.2 基本积分表 203
5.1.3 不定积分的线性运算 204
习题5-1 207
5.2 换元积分法 207
5.2.1 第一换元积分法（凑微分法）207
5.2.2 第二换元积分法 214
习题5-2 220
5.3 分部积分法 221
习题5-3 227
5.4 几类特殊函数的不定积分 228
5.4.1 有理函数的不定积分 228
5.4.2 三角函数有理式的积分 232
5.4.3 简单的代数无理式的积分 234
习题5-4 235
总习题五 236
阅读材料5 两种微积分的评说 238
第6章 定积分 240
6.1 定积分的概念和性质 240
6.1.1 引例 240
6.1.2 定积分的定义 243
6.1.3 可积的条件 244
6.1.4 定积分的几何意义 245
6.1.5 定积分的性质 246
习题6-1 250
6.2 微积分基本定理 251
6.2.1 变限积分函数及其导数 251
6.2.2 微积分基本定理 254
习题6-2 257
6.3 定积分的计算 259
6.3.1 定积分的换元法 259
6.3.2 定积分的分部积分法 262
6.3.3 定积分计算中的几个常用公式 264
习题6-3 269
6.4 反常积分 270
6.4.1 无穷区间上的积分 270
6.4.2 无界函数的积分 273
6.4.3 Γ函数 277
习题6-4 279
6.5 定积分的应用 279
6.5.1 定积分的微元法 279
6.5.2 平面图形的面积 280
6.5.3 立体的体积 284
6.5.4 平面曲线的弧长 287
*6.5.5 旋转体的侧面积 289
*6.5.6 定积分在物理上的应用举例 291
习题6-5 295
总习题六 296
阅读材料6 数学之神——阿基米德 299
第7章 微分方程 302
7.1 微分方程的基本概念 302
习题7-1 306
7.2—阶微分方程 307
7.2.1 可分离变量的微分方程 307
7.2.2 齐次方程 311
7.2.3—阶线性微分方程 312
7.2.4 伯努利（Bernoulli)方程 315
习题7-2 317
7.3 几类可降阶的高阶微分方程 318
7.3.1 y(n)=f(x)型的微分方程 318
7.3.2 y''=f(x,y)型的微分方程 319
7.3.3 y''=f(y,y')型的微分方程 320
习题7-3 321
7.4 线性微分方程解的性质与通解的结构 321
习题7-4 325
7.5 二阶常系数线性微分方程 325
7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程 325
7.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 328
7.5.3 n阶常系数齐次线性微分方程 335
7.5.4 欧拉（Fuler)方程 336
习题7-5 338
总习题七 339
阅读材料7 分析的化身——欧拉 341
习题答案与提示 345
参考文献 363
附录 常用符号简介 364
第1章 函 数
高等数学与初等数学的区别在于研究的对象和研究的方法不同.初等数学所研究的
对象主要是常量,而高等数学的研究对象是变量.函数是高等数学中最基本的概念之一,
也是高等数学的主要研究对象.所谓函数关系就是变量之间的依赖关系.在自然科学、工
程技术,甚至在某些社会科学中,函数是被广泛应用的数学概念之一,其重要意义远远超
出了数学范围.
中学阶段的学习使我们建立了对函数的一些初步的认识,当由初等数学进入高等数
学的学习之初,我们有必要对函数的概念及性质在复习的基础上,进行更加严格深入的
讨论.
作为阅读材料,我们在本章的最后简略地介绍函数概念形成与发展的历史.
1 函数的概念
1.
1.
1
函数的定义
1.
在实际问题中,常常会遇到各种不同的量,其中有些量保持固定的数值,这种量称为
常量,如圆周率π,重力加速度g,等等;还有一些量可以根据问题的变化取一些不同的数
值,这种量称为变量.例如,运动物体的速度,某地一年中的气温,某工厂所生产的某种产
品的产量、成本和利润,某时刻世界人口总数等都是变量
.
通常,一些客观事物所反映出的变量往往不是孤立的,它们常相互依赖并按一定规
律变化,这就是变量间的函数关系
.
例
1
自由落体运动.设物体下落的时间为t,落下的位移为h,它们都是变量.假定
开始下落的时间t=0,那么变量
h
与
t
之间的对应关系为
h
=
1 t2
2g
其中
g
为重力加速度是常量.假定物体着地时刻为t=T ,那么当时间
t
在闭区间 [0,T]
内任意取定
t
的一个数值时,按上式就有一个唯一确定的数值
h
与之对应
.
例
2
设一圆柱形容器的底面半径为r,高为h,其内所盛溶液体积
V
随着溶液高度
x
的变化规律为
V =πr2
0,
当溶液高度
x
在闭区间 [ h]内任意取定一个数 (x ) 值时,按上式就有一个唯一确定的数值
V
与之对应
.
上述两例虽然实际背景不同,但它们都反映了变量之间的相互依赖关系,这些关系
确立了相应的法则,当其中一
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