数学很奇妙，它就像是一座由数字、字母、符号和图形构成的迷宫。利用思维的力量去寻找迷宫正确道路的过程，充满着挑战，也充满着乐趣。
本书介绍了一些充满奥秘与奇趣的数学知识和数学历史故事，包括神秘而有趣的自然数、妙趣横生的墓志铭，以及数学历史上的失误等，这些内容发人深思，令人惊讶，有些还会让你会心一笑。相信本书能够激发你对数学的兴趣，锻炼你的逻辑思维能力，提升你的创新意识。
本书语言通俗易懂，集知识性与趣味性于一体，非常适合小学高年级以上文化程度的大众读者阅读。
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数学中有着许多奇妙有趣的数学问题，本书选出十类约70个问题，进行浅显、生动的介绍，在介绍一些简单的数学知识的过程中，阐述前任学习或研究数学的方式、方法和历程。书中有着一些鲜为人知的趣味数学题，可使读者在轻轻松松阅读的过程中锻炼自己的数学思维、积累数学知识。
徐品方，1935年生，四川西昌市人，毕业于今四川师范大学数学系。四川西昌学院副教授，四川师范大学兼职教授。中国数学会及数学史分会会员，四川省科普作家，凉山州老科技工作者协会副会长。编著出版数学教育和数学史著作30部，共500多万字。发表论文或科普文章70多篇。专著有《趣味古算诗题解》、《数学趣话》、《白话九章算术》、《数学诗歌题解》、《女数学家传奇》、《笛卡尔》、《数学王子高斯》、《定理多证，定义多解》，合著《数学符号史》、《中国古算家的成就与治学思想》、《中学数学简史》、《中世纪数学泰斗秦九韶》、《古算诗题探源》，主编《数学简明史》，参编师专教材《初等集合研究》，以及大学教材《数学简史》、《世界大发现》（数学·物理学卷）等。
徐伟，1963年生，四川西昌市人，1990年毕业于凉山州教育学院数学系。现为四川西昌市第三初级中学一级数学教师，曾荣获西昌市政府颁发的“西昌市首届中学数学教学能手”称号；合著《古算诗题探源》一书，发表论文多篇，其中一篇获2005年凉山州委、州政府颁发的“凉山州第五届自然科学优秀学术论文”二等奖。
1 充满奥秘的数学
1 充满奥秘的数学
数学是个万花筒 ， 里面有许多形形色色的美丽 、 和谐的趣事 ， 十分奇妙 、 有趣 。
公元前 3 世纪 ， 古希腊的阿基米德对数学十分痴迷 。 “仿佛他家中有一个绝 色的仙女 ， 与他形影不离 ， 使他神魂颠倒 ， 忘了吃 ， 忘了喝 ， 也忘了自己 。 有 时 ， 甚至在洗澡时 ， 也用手指在炉灰上画几何图形 ， 或者在涂满擦身油的身上 画线条 ， 他完全被神女缪斯的魅力征服 。” 这是近两千年前的古希腊历史学家 、 传记作家普鲁塔克 （Plutarch ， 约 46 ～ 约 127） 对阿基米德的评述 （解延平等 ， 1987）96 。
1.1 破译密码王中王
先讲一个有趣的故事 。
稻田边立着穿蓑衣的稻草人 。 几天过去 ， 鸟儿便知道这是假人 ， 大胆地饱 食快成熟的稻谷 ， 还故意站在稻草人头上鸣叫 “假假假” 。 后来 ， 稻田主人自己 穿上蓑衣站在田边 。 鸟儿又像过去一样来吃谷子 ， 吃完后站在 “稻草人” 头上 ， 最终被稻田主人抓住 。 稻田主人大笑道 ： “你天天在叫假假假 ， 今日叫你撞上真 真真 ！”
下面要讲的密码的故事 ， 绝不是假假假 ， 而是真真真 ！
密码一般是用 0 ～ 9 的 10 个数字中的一些数字组成的秘密记号 ， 只有自己 （如银行卡密码 、 电脑密码等） 或双方 （如通信密码） 知道 。
密码通信在军事 、 政治 、 经济上都是必不可少的 。
1.密码的历史悠久
密码的历史悠久 ， 我国自古有之 。 例如 ， 宋朝曾将 40 个军用短语密码用序 号 1 ， 2 ， . ， 40 表示 ； 另用一首只有 40 个字 （没有重复字眼） 的五言诗中的字 一一对应 。 若送密码 ， 写一普通公文 ， 其中包含诗中对应序号的一个字眼 ， 并 在此字上加盖图章 。 例如 ， 要求增兵 ， 从密码中查 “请添兵” 是第 14 个军用短 语 ， 诗中对应的第 14 个字是 “别” 字 。 于是写一封信夹进 “别” 字 ， 并在其上 盖章 。 收信人一看便知是要求增兵援助了 （徐品方等 ， 2007a）64 ～ 65 。
又传说 ， 北宋年间 ， 辽国奸细王钦若打入宋朝内 “卧底” 。 辽国要送密件给 他时 ， 为逃避路上盘查 ， 把密件蜡丸塞入送信人切开的大腿肌肉里 ， 待伤愈后 送给王钦若 。 这是历史上最野蛮的传送密件的方法之一 。
在国外 ， 历史上为保卫祖国破译敌人密码的数学家也不乏其人 。
16 世纪 ， 在一次法国与西班牙的战争中 ， 西班牙人编制了一份自认为极其 安全的密码 ， 没想到法国数学家韦达 （F.Vieta ， 1540 ～ 1603 ） 利用数学方法破 译了这份数百字的密码 ， 使法国军队打败了对方 。 西班牙国王开始还不相信他 们的密码能被破译 ， 认为法国人采用了邪术 ， 后来得知是韦达搞的 ， 愤怒的西 班牙宗教裁判所缺席判处烧死韦达的极刑 。 当然 ， 韦达远隔异国 ， 宗教裁判所 鞭长莫及 ， 无法得逞 。
第二次世界大战 （1939 ～ 1945） 中 ， 英国数学家图灵 （A.M.Turing ， 1912 ～ 1954） 于 1943 年根据数学原理设计了一台叫 “乌尔特拉” 的密码自动破译机 ， 又称图灵机 。 德国谍报部门用性能最优良的发报机发送出的各种密码 ， 都能被 图灵机自动译出 ， 致使德军连连失败 。 德军统帅部直到战争结束时 ， 还一直相 信他们优良的发报系统绝对安全 ， 认为失密是内部出了叛徒 ， 当时还千方百计 在内部捉拿 “奸细” 。 然而 ， 他们做梦也没有想到 ， 密码是被年轻的数学家图灵 用数学方法破译的 。 英国首相丘吉尔称图灵机为 “英国的秘密武器” ， 为此 ， 图 灵荣获了帝国勋章 。
无独有偶 ， 在第二次世界大战时 ， 美军科学家也用数学方法成功地破译了 日军的密码电报 ， 得知日本空军头目山本五十六的动向 ， 预先设下埋伏 ， 一举 击落了山本五十六的座机 ， 使这个日本侵略军的头目葬身孤岛 。
然而有矛必有盾 ， 随着一个个密码被破译 ， 新的更为复杂的密码不断编制 出来 。
2.RSA 密码的诞生
物换星移几度秋 ， 时间匆匆地进入 20 世纪 70 年代 ， 一种亘古未有的密码 ， 神奇般地降临大地 ， 向数学家 、 计算机专家的智慧发出了挑战 。
1978 年的一天 ， 美国青年科学家里维斯特 （Rivest） 、 夏米尔 （Shomir） 和 阿德利曼 （Adleman） 三人相约悄悄来到纽约 ， 共商设计令全球最难解的一种密 码系统 。 三人中两人是数理逻辑学家 ， 一人是计算机专家 ， 他们凭借着超群的 智慧和极其独特的设密技术 ， 经过夜以继日的不懈努力 ， 发明了一种长达 129 位的长码 。 这是一种最为先进 、 最为复杂的密码系统 ， 起名为 “RSA129” ， 取 三位发明者姓名的头一个字母 ， 后人统称 RSA 密码系统 。
他们把这个发现写成文章 ， 投寄给美国最有影响的科普杂志 《科学美国 人》 。 在文章中 ， 他们以年轻人特有的幽默 ， 诙谐地宣布说 ， 谁能解出 RSA129 密码 ， 将能获得 100 美元的奖励 ， 因为他们拿不出更多的钱 。
文章以最快的速度发表了 ， 喜欢标新立异 、 寻找 “奇闻” 的美国读者 ， 争 读和传播这个 “公开秘密” 的信息 。 它首先在美国引起轰动 ， 随后又很快在全 球数学界和计算机界传开 。 许多专家学者跃跃欲试 ， 倒不是为了那微薄的 100 美元的奖金 ， 而是试图登上密码界的珠穆朗玛峰 。 但是 ， 他们低估了 RSA 密码 系统的难度 ， 个个都以失败而告退 。
科学家认为 ， 解开 RSA129 这个有史以来最难的密码系统 ， 并非是一种趣 味游戏 ， 它涉及数论里因数分解问题 。 解开它不仅在理论密码学 、 数理逻辑学 和数论上都有重大意义 ， 而且直接影响当代商业与军事部门所使用密码的生存 与命运 ， 因为一旦破译 ， 许多银行 、 公司 、 政府和军事部门现行所使用的密码 系统必须全部改换 ， 才能防止保密系统泄密 。
面对这个诱人的理论与应用重大课题 ， 许多人运用各种办法去解开它 。 时 间一年一年过去了 ， 然而没有人成功 ， “竹篮打水一场空” 。
这时 ， 有人似贬实褒地 “骂” 道 ： “这三个野小子 ， 十分厉害 。” 也有人说 RSA129 是一个根本不能破译的 “大骗局” ， 是一个 “圈套” 。 这话传到发明者之 一里维斯特耳朵里 ， 他平静地回答说 ： 这绝不是骗局 ， 也不是圈套 ， 而是科学 。 并且告诉大家说 ， 如果想靠个人单干的小打小闹或零敲碎打解开 RSA129 密码 ， 那么人类至少要花 4000 年 ！ 他又暗示说 ， 只有集中力量 ， 进行连续的跨国联网 大会战 ， 才会有可能成功 。
3.智慧的较量
人们从失败中发现 ， 这类 RSA 密码系统是一种与数的因数分解有关的数学 方法 ， 用它可以编 、 译密码 。 聪明的发明者正是利用数论专家目前还难以解决 大数的因数分解之机 ， 编制成了这种难以破译的密码系统 。
我们知道 ， 用现代计算机进行两个很大的数相乘是件极容易的事 。 例如 ， 9 位数 193707721 和 12 位数 761838257287 相乘 ， 用计算机只需几秒钟就可得出积 数 267 - 1 。 但是反过来 ， 如果不知道这两个因数 ， 要求完成乘积 （267 - 1） 的因 数分解 ， 却不容易 ， 积的位数越多 ， 计算机所耗时间越多 。 有人统计 ， 若进行 两个 101 位数的积的因子分解 ， 最快的计算机也要几十万亿年的时间 。 因此 ， 求一个大数的因数分解 ， 必须采用数学家们研究出新的计算方法 ， 同时辅之以 电子计算机工作才行 。 里维斯特三人正是利用了数学家目前对大数的因数分解 的困难 ， 研制了这一可以公开却又无法破译的密码 。 短短几年间 ， 这一密码得 到了一些国家安全部门的广泛应用 。
RSA 密码系统的基本思想是 ： 取两个充分大的素数的乘积 ， 如果需要发送 秘密文电 ， 只需公开告诉发电报的人这两个素数的乘积是多少 ， 并说明如何用 它进行编码 ， 但不必告诉他这两个素数 。 发报人按编码进行发送秘密文电 ， 而 收报人只要对这两个很大的素因数严守秘密 ， 任何人都无法破译 ， 只有他本人 知道这一密码电报 。
RSA 密码系统的出现 ， 一方面给一些国家安全部门带来了喜悦与通信的安 全感 ， 另一方面却给数学王国的数学家带来了极大的震动 。 顿时 ， 数坛的能工 巧匠惊惶不安 ， 被誉为 “数学皇后” 的数论以及 “计算之王” 的计算机等的尊 严受到了严重的损伤 ， 数论再也不是 “世外桃源” ， 再也不是与实践不沾边 、 纯 之又纯的数学理论了 。 几千年来始终洁白如玉 、 一尘不染的素数的性质一下子 败在了国家谍报工作人员的脚下 ， RSA 系统密码出奇地钻了数学家们暂时不知 的大空子 ， 给他们出了一道极富挑战性的难题 。
4.毅力是永久的享受
在挑战面前 ， 数学家们积极投身到大因数分解的玄机妙算之中 ， 佐治亚大 学的波梅兰斯教授说 ： “这种密码系统是由于无知而成功的一项应用 。 它的产生 使更多的人热衷于研究数论了 。 可以说 ， 对分解因数束手无策的数学家越多 ， 这种密码就越好 。”
数学家的科学使命遭到如此重大的打击 ， 极大地刺伤了他们的自尊心 。 他 们迅速地向编密码专家发出了应战的誓言 ： “我们必须知道 ， 我们必将知道 。” 为了攻克大因数分解这座崎岖曲折的数论山峰 ， 他们熬过无数寒暑 ， 度过无数 不眠之夜 ， 无数次坐在计算机面前进行计算 、 推理与沉思 。 他们使用运算速 度越来越快的计算机 ， 研究改进数学计算的方法 ， 其间又创立了新的数学分 支 “计算数论” 。 短期内取得了可喜的进展 ， 他们进行因数分解的位数迅速 增大 。
例如 ， 1984 年 2 月 13 日 ， 美国 《时代》 周刊介绍了美国科学家西蒙斯 、 戴 维斯和霍尔德里奇 3 人 ， 用 32 小时解开了 3 个世纪之久未解决的难题 ―― 69 位 数的因数分解 。
时间不断在改写历史的记录 ， 突破性的奇迹接踵而来 。
1986 年末 ， 已有一些国家能在一天之内分解一个 85 位的数 ； 1988 年 ， 可 分解 100 位长的大数 ； 1990 年 ， 美国数学家 J.波拉德和 H.兰斯拉发现了一个 155 位数的分解方法 . .
数学界的消息 ， 使美国保密机构感到震惊 。 因为此前美国绝大多数保密体 系是使用 150 位长的大数来编制密码 。 现在感到不安的不再是数学家 ， 而是那 些得逞一时的国家安全部门了 。
5.破译 RSA129 密码的成功
光阴荏苒 ， 日月如梭 ， 距 RSA 系统问世 12 年之后 ， 数学家们在因数分解 上取得了节节胜利 ， 鼓舞着揭开 RSA129 之谜的科学家 ， 他们开始酝酿 、 策划 直捣令人咋舌 “要花 4000 年” 解决的 RSA129 “大圈套 、 大骗局” 的难题了 。
科学家们终于接受发明者的 “大兵团作战” 的建议 。 他们纷纷呼吁 ： 集中 全球的 “密码学精英” 和大量高性能的计算机 ， 全力以赴 “跨国联网大会战” 直捣黄龙 。
说起来容易 ， 做起来太难了 ， 举行这样的 “会战” ， 不仅需要一笔不小的资 金 ， 而且还要有一个 “愿作嫁衣裳” 的机构出面组织 ， 进行协调 。
美国著名的 “贝尔通信公司” 负责科研的 “科尔公司” 的决策者们高瞻远 瞩 ， 提供资金赞助并组织了这一世界性的大会战 。 1990 年初 ， 五大洲 600 多位 解密专家和 1600 台高性能的计算机 ， 汇合在一起 ， 一场空前壮观的破译 “世界 密码之王” 的大会战的帷幕启开了 。
组织者们食不甘味 ， 寝不安席 ； 专家学者们送走了多少个星光交辉的夜 晚 ， 迎来了多少朝霞如火的清晨 ， 他们有序地 、 科学地向密码的珠穆朗玛峰 攀登 。 具体负责的科尔公司的阿杰恩 ? 伦斯特博士说 ： “计算机已经告诉我 们 ， 破译的困难程度如同要在一堆地球一样大的干草堆中找出总共 850 万枚 缝衣针 。”
“天机云棉用在我 ， 剪裁妙处非刀尺 。” 精英们经过整整 8 个月的连续苦战 终于成功了 。 他们破译了 RSA129 密码 。 用过的草稿纸记载了多少成功和失败 ， 凝结着多少团结合作的汗水和心血啊 ！
估计单干要 4000 年的工作量 ， 集体合作只花 240 天就完成了 。 这不是 1 天 约等于 16.6 年吗 ？
科尔公司在纽约举行了一次别开生面的招待会 ， 会上伦斯特博士宣布成功 地破译了 10 多年前 3 位发明家设置的这个被认为永远无法破译的 “密码王中 王” 。 发明者之一里维斯特亲手将一张 100 美元的支票 “奖” 给科尔公司的伦斯 特博士 。 会场顿时爆发出一片善意的笑声 ， 接着响起经久不息的雷鸣般的掌声 和欢呼声 。
人们想不到才十几年 ， 计算机发展竟如此迅速 。 对此 ， 里维斯特总结说 ： “由此看来 ， 在我们这个计算机飞跃发展的时代 ， 绝对无法破译的密码是根本不 存在的 。”
当然 ， RSA 密码系统中长达 129 位数的特殊长码破译了 ， 但对 150 位数以 上的长码 ， 还没有找到一般的方法 。 有人预测 ， 照这样形势发展 ， 破译 RSA 密 码系统的任何密码的日子为期不远了 。
活生生的现实把数学家从一张纸 、 一支笔的小天地里逼上了应用数学广阔 天地的 “梁山” ， 他们以迅猛异常的勇敢精神 ， 杀出了一条血路 ， 直捣密码的 心脏 。
RSA 密码系统的编制与破译 ， 在一定程度上推动了数学的发展 ， 建立了计 算机应用的新天地 ， 并且催生了 “计算数论” ， 使人们看到公元前发现的数论这 门纯数学理论科学 ， 在 3000 年后的当代大显身手 ， 应用于实践的可能性 ， 数论 再也不是 “世外桃源” 和 “空中楼阁” 了 。 同时 ， 数学家的工作也充实和发展 了密码学 ， 使密码分析实现了数学化 、 机械化 。
思考题 1 证明 324-1 一定有约数 91 。 （浙江师范大学 1985 年初中数学竞 赛题）
注 ： 因式分解是一种重要的恒等变形 ， 用途广泛 。 这里仅举一个解决整除 性的题 ， 只要分解因式中有 91 因数即成 。
1.2 笔尖下发现行星
有这样一则有趣故事 。 一天 ， 地理教师上课时对学生说 ： “谁能在地图上指 出美洲的位置 ？”
尼克走到地图面前 ， 准确地找到了美洲的所在 。
“好 ， 同学们 ， 再告诉我 ： 谁发现了美洲大陆 ？” 教师又问 。
学生们异口同声地回答 ： “尼克 。”
这只是一则笑话 。 但要问问 ， 谁发现了天王星和海王星 ， 你知道吗 ？
每当夜幕降临 ， 仰望晴朗的夜空 ， 上面点缀着无数的繁星 ， 闪烁着光亮的 星球优美 、 和谐地布于太空 ， 有条不紊地运动着 ， 呈现出一幅绚丽的奇特 图案 。
几千年来 ， 天空中隐藏着无穷无尽的奥秘 ， 我们的祖先很早就已对地球附 近的五大行星 （水星 、 金星 、 火星 、 木星和土星） 有所认识 ， 并不停地探索着 这些大行星的规律 。
1766 年 ， 德国数学教师提丢斯 （J.D.Titius ， 1729 ～ 1796） 发现各大行星 到太阳的平均距离是有如下规律的一数列 ， 即从第三项起 ， 后一项是前一项的 2 倍 （今称等比数列） ：
0 ， 3 ， 6 ， 12 ， 24 ， 48 ， 96 ， 192 ， 384 ， .
为了让人们容易记住这数列的数目 ， 提丢斯把每一个数加 4 再除以 10 ， 就 得到下表中的数据 。
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