稳态Navier-Stokes方程的Liouville定理
在本书中，我们将重点讨论稳态Navier-Stokes方程的Liouville定理方面的内容，围绕全空间上Leray问题这一公开问题展开讨论，希望能促进此问题的推广与深入研究，这涉及到Navier-Stokes方程解的分类问题，也跟经典Navier-Stokes方程的正则性紧密相关。首先，我们将回顾一些基本的数学工具和技术，包括Bogovskii映射，Stokes估计，衰减估计等；其次，我们将描述一些二维Navier-Stokes方程的进展，包括Liouville定理、解的衰减或分类估计；再次，对于三维方程，我们将描述其主要的进展，包括一些取决于速度、总压力或势函数的唯一性结果；最后，我们将从衰减估计或不同区域来讨论它。
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国家自然科学基金面上项目, "关于不可压Navier-Stokes方程的若干问题"
目录
前言
第1章 基础知识 1
1.1 模型推导 1
1.1.1 Euler描述 1
1.1.2 Lagrangian描述.2
1.2 稳态 Stokes方程的基本解 8
1.2.1 Fourier变换法 8
1.2.2 构造法求三维基本解及其应用 10
1.3 点态收敛定理 15
1.4 Bogovskii映射 22
1.5 Stokes 估计 30
1.5.1 Stokes系统的内部估计 32
1.5.2 Stokes系统的全局估计 34
1.5.3 无压力的Stokes估计 44
第2章 三维全空间 Liouville型定理 47
2.1 Galdi的消失性定理 47
2.1.1 局部Stokes流的基本解 47
2.1.2 局部Stokes流的解公式 49
2.1.3 速度收敛性的证明 50
2.2 结构方程 52
2.3 速度方程与Bogovskii映射定理 53
2.3.1 Galdi的*准则 53
2.3.2 Chae-Wolf的Log改进结果 55
2.3.3 排除*空间 58
2.3.4 进一步有趣的问题 64
2.4 利用总压力的 Liouville 型定理 65
2.4.1 * 65
2.4.2 * 66
2.4.3 * 68
2.5 Seregin的准则 70
2.5.1 Chae-Wolf的改进 72
2.5.2 其他推广 73
第3章 衰减估计 74
3.1 三维情形 74
3.2 二维Korobkov-Pileckas-Russo的结果 74
3.3 高维Jia-Sverak的结果 76
3.4 轴对称Navier-Stokes的衰减估计 84
3.5 轴对称Navier-Stokes的Liouville定理 86
3.5.1 无旋条件下的Liouville性质 87
3.5.2 速度衰减假设 91
3.5.3 速度分量的Liouville定理 93
3.5.4 涡量的Liouville定理 96
第4章 二维Navier-Stokes方程的Liouville定理 105
4.1 Gilbarg-Weinberger的系列定理 105
4.1.1 速度的增长估计 105
4.1.2 Liouville型定理 114
4.1.3 压力的渐近行为 115
4.1.4 速度的平均收敛 121
4.1.5 涡量的衰减 125
4.1.6 速度一阶导数的衰减 126
4.2 速度有界:Korobkov-Pileckas-Russo的结果 129
4.3 锥型域中解的分类 133
4.3.1 预备引理 136
4.3.2 定理4.9的证明 140
4.4 一般的q-能量下的Liouville定理 150
4.5 Fuchs-Zhong的问题 156
4.6 二维外域上的衰减估计 159
4.6.1 定理4.15的证明 160
4.6.2 定理4.16的证明 165
第5章 关于Liouville问题的其他主题介绍:周期、平板或其他模型 172
5.1 无穷远处趋向非零向量的Liouville定理 172
5.2 平板上的Navier-Stokes方程的Liouville 定理.177
5.3 轴对称Navier-Stokes方程在周期性区域上的 Liouville 定理 179
5.4 广义Navier-Stokes方程的Liouville定理 181
5.5 二维MHD模型的Liouville定理 183
5.6 三维MHD或Hall-MHD模型的Liouville定理 185
参考文献 187
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