《数学分析讲义(第2册)》是作者在清华大学数学科学系(1987-2003)及北京大学数学科学学院(2003-2009)给本科生讲授数学分析课的讲稿的基础上编成的。一方面,作者力求以近代数学(集合论,拓扑,测度论,微分流形和微分形式)的语言来介绍数学分析的基本知识,以使同学尽早熟悉近代数学文献中的表述方式。另一方面在篇幅允许的范围内,作者尽可能地介绍数学分析与其他学科(特别是物理学)的联系,以使同学理解自然现象一直是数学发展的重要源泉。全书分为三册。第一册包括:集合与映射,实数与复数,极限,连续函数类,一元微分学和一元函数的Riemann积分;第二册包括:点集拓扑初步,多元微分学,测度和积分;第三册包括:Fourier分析初步,广义函数,复分析,微分流形,重线性代数,微分形式和流形上的积分学。每章都配有丰富的习题,它除了提供同学训练和熟悉正文中的内容外,也介绍了许多补充知识。
《数学分析讲义(第2册)》可作为高等院校数学系攻读数学、应用数学、计算数学的本科生数学分析课程的教材或教学参考书,也可作为需要把数学当做重要工具的同学(例如攻读物理的同学)的教学参考书。
第7章 点集拓扑初步
7.1 拓扑空间
7.2 连续映射
7.3 度量空间
7.4 拓扑子空间,拓扑空间的积和拓扑空间的商
7.5 完备度量空间
7.6 紧空间
7.7 Stone-Weierstrass逼近定理
57.8 连通空间
7.9 习题
7.10 补充教材:Urysohn引理
进一步阅读的参考文献
第8章 多元微分学
8.1 微分和导数
8.2 中值定理
8.3 方向导数和偏导数
8.4 高阶偏导数与Taylor公式
8.5 反函数定理与隐函数定理
8.6 单位分解
8.7 一次微分形式与线积分
8.7.1 一次微分形式与它的回拉
8.7.2 一次微分形式的线积分
8.8 习题
8.9 补充教材一:线性赋范空间上的微分学及变分法初步
8.9.1 线性赋范空间上的重线性映射
8.9.2 连续重线性映射空间
8.9.3 映射的微分
8.9.4 有限增量定理
8.9.5 映射的偏导数
8.9.6 高阶导数
8.9.7 Taylor公式
8.9.8 变分法初步
8.9.9 无限维空间的隐函数定理
8.10 补充教材二:经典力学中的:Hamilton原理
8.10.1 Lagrange方程组和最小作用量原理
8.10.2 Hamilton方程组和Hamiltom原理进一步阅读的参考文献
第9章 测度
9.1 可加集函数
9.2 集函数的可数可加性
9.3 外测度
9.4 构造测度
9.5 度量外测度
9.6 Lebesgue不可测集的存在性
9.7 习题
进一步阅读的参考文献
第10章 积分
10.1 可测函数
10.2 积分的定义及其初等性质
10.3 积分号与极限号的交换
10.4 Lebesgue积分与Riemann积分的比较
10.5 Futfini-ronelli定理
10.6 Jacobi矩阵与换元公式
10.7 Lebesgue函数空间
10.7.1 LP空间的定义
10.7.2 LP空间的完备性
10.7.3 Hanner不等式
10.7.4 LP的对偶空间
10.7.5 Radon-Nikodym定理
10.7.6 Hilbert空间
10.7.7 关于微积分学基本定理
10.8 二次微分形式的面积分
10.8.1 一次微分形式的外微分
10.8.2 二次微分形式和平面的定向
10.8.3 二次微分形式的回拉和积分
10.8.4 三维空间的二次微分形式
10.8.5 平面上的Green公式
10.9 习题
进一步阅读的参考文献
参考文献
名词索引
本讲义的第三章讨论了实数列和复数列(与实函数和复函数)的极限概念。每引进一个极限概念,都必须重复基本上相似的叙述。在极限概念的基础上第四章讨论了(实数域到实数域,实数域到复数域,复数域到复数域的)映射的连续性概念。每引进一个连续映射的概念,也必须重复基本上相似的叙述。有时对于某种特殊情形(例如,在闭区间[a,6]的端点a或b处函数的连续性),还必须另加说明。在第四章中还讨论了函数列的一致收敛性概念,它在许多方面和数列收敛概念相似,但必须重复进行讨论。在数学的进一步发展中,我们还会遇到类似的收敛性与连续性的概念,它们虽然互相有异,但在许多方面极其相似。因此,有必要把所有这样的问题放在一个更大的、更为抽象的框架中统一处理,以免不必要的重复。在54。5 的第18题中,我们知道,R到R的映射的连续性概念可以通过R上的开集概念来刻画。这就是我们将在本章引进由开集概念刻画的“拓扑空间’’这个抽象的数学概念的缘由。我们只介绍拓扑空间理论中的已成为分析学的重要工具的数学概念和结果。事实上,这些概念已成为数学界常用的共同语言,不了解它们将使我们难于与当今数学界进行真正的交流。所以,同学们有必要努力掌握它。