本书从计算机科学家和工程师等应用科学家的角度介绍了线性代数的主要概念和一些重要应用，同时不失数学严谨性。计算科学家和工程师在研究和工作实践中都需要理解数学的理论概念，以便能够提出研究进展和创新解决方案，基于这一理念，本书对每一个概念都做了全面介绍，并通过一些例子补充解释。此外，书中大多数定理都是先给出严格证明，然后通过数值例子在实践中加以证明。在适当的情况下，主题也通过伪代码的方式呈现，从而突出代数理论的计算机实现。
适读人群 ：工程以及计算机专业的学生
线性代数是一门基础学科，也是一门注重应用的学科。本书从计算科学家和工程师等应用科学家的角度介绍了线性代数的主要概念和一些重要应用，同时不失数学严谨性。计算科学家和工程师在研究和工作实践中都需要理解数学理论概念，以便能够做进一步研究和提出创新解决方案。基于这一理念，本书对每一个概念都做了全面介绍，并通过一些例子做补充解释。此外，书中大多数定理都是先给出严格证明，然后通过数值例子在实践中加以验证。在适当的情况下，主题也通过伪代码的方式呈现，从而突出代数理论的计算机实现。
本书可读性强，从第一次学习代数的学生到需要了解代数理论的应用科学研究人员和研究生，都可以在学习本书的过程中建立数学思想。
第2版前言
本书的第1版已经在教学中试用了三个学期。因此，我有机会反思自己的沟通技巧和教学技能。
除了纠正一些笔误和小错误，我决定改写很多证明，使得解释更清晰也更易读。本书的每一处改动都认真考虑了学生的反应和他们在学习中的反馈。本书的很多章节都被重新组织，一些章节甚至重新编写，并使用了更好的记号。第2版包括了超过150页的新材料，包括贯穿全书的定理、图示、伪代码和例子，全书加起来超过了500页。
在有关矩阵、向量和线性映射的章中加入了新的主题。此外，全书增加了大量内容。有关欧氏空间的内容现在从向量空间的章中移除，并将其放置在一个关于内积空间的独立章中介绍。最后，在书的末尾给出了每章习题的答案。
在本版中，本书仍分为两部分：第Ⅰ部分阐述了线性代数基础，第Ⅱ部分介绍了线性代数高级主题。
第Ⅰ部分由前六章组成。第1章介绍代数及集合论中的基本记号、概念和定义。第2章描述有关矩阵的定理和应用。第3章着重分析线性方程组的解析理论和数值方法。第4章介绍三维空间中的向量。第5章讨论复数和多项式以及代数基本定理。第6章从代数和矩阵理论的角度介绍二次曲线。
第Ⅱ部分由后七章组成。第7章介绍代数结构，并介绍群论和环论。第8章分析向量空间。第9章介绍内积空间，并特别强调欧氏空间。第10章讨论线性映射。第11章介绍复杂度和算法定理。第12章介绍图论，并从线性代数的角度进行阐述。最后，第13章给出了一个例子，说明如何将前几章学习的所有代数知识应用于电气工程实践中。
在附录A中，布尔代数是非线性代数的一个例子。附录B给出了本书中一些定理的证明，因为这些定理的证明需要一些微积分和数学分析知识，超出了本书的范畴，所以在正文中证明被省略。
我认为按照目前的形式，本书是第1版的一个实质性的改进版。虽然整体结构和风格大体上保持不变，但使用了新的方式呈现和说明这些概念，这就使得本书能够被更多读者接受，并引导他们向线性代数的更高水平迈进。
补充一点，本书第2版的目的是让任何对数学感兴趣，并想在数学上下功夫的人都能理解代数。
Ferrante Neri
英国，诺丁汉
2019年4月
第1版前言
理论和实践常常被认为是独立存在的，代表知识的两个不同方面。事实上，一方面，应用科学是建立在理论进步的基础上的。另一方面，理论研究往往着眼于世界和有待发展的现实需要。本书基于这样的理念：理论和实践不是相互脱节的，知识之间是互相联系的。特别地，本书从计算机科学家、工程师和任何需要深入理解这门学科以使应用科学得以进步的人的视角来介绍线性代数的主要概念，同时不失数学严谨性。本书是面向应用科学领域的研究人员和研究生的，但也可以作为数学专业的教材。
代数书要么非常正式，对计算机科学家和工程师来说不够直观，要么是普通的本科生教材，证明和定义没有足够的数学严谨性。本书旨在在严谨性与直观性之间保持平衡，针对每一个引入的概念，试图都给出其示例、解释和实际意义，并证明每一个命题。在适当的地方，主题也会被表示为算法并辅以伪代码。另外，本书不使用逻辑跳转或直观解释来代替证明。
本书的“叙述”以（部分）数学思想为引线。经历了一个又一个世纪，这些数学思想影响着人们的观点并带来了近代科技的发现。数学思想被认为起源于石器时代，当时的穴居人必须估计他观察到的物体的数量。概念化过程发生在古代的某个时刻，这便是数学的开端，也是逻辑学、理性思维和技术的开端。
本书分为两个部分，共有十三章。第Ⅰ部分介绍代数中的基本主题，适用于大学代数课程入门，而第Ⅱ部分给出的更为高级的主题适用于更为高级的课程。此外，本书可作为应用科学领域的研究者的手册，读者可根据本书内容主题的划分，按自身的兴趣选择特定的主题。
第Ⅰ部分从第1章开始，介绍代数学和集合论中的基本概念和定义。第1章中的定义和记号将用于后面各章。第2章研究矩阵代数，介绍定义和定理。第3章继续讨论矩阵代数，解释线性代数方程组的理论原理，并举例说明解方程组的一些精确方法和近似方法。第4章先是以直观方式将向量视为几何对象进行介绍，然后逐步抽象和推广这一概念，从而得到了代数向量的概念，其本质是要在矩阵理论的基础上求解线性方程组。有关向量的叙述引出了第5章。第5章讨论了复数和多项式，并通过对代数基本定理的陈述和解释，对代数结构进行了简单的介绍。前5章所得到的大部分知识在第6章中将再次被提出，第6章介绍并解释圆锥曲线，证明圆锥曲线除了几何意义外，还有代数解释，因而等价于矩阵。
按照对称的原则，第Ⅱ部分从第7章开始，通过演示基本代数结构开始介绍高级代数知识。第8章介绍群和环的理论以及域的概念——它们构成了这一章的基础，同时介绍向量空间。向量空间的理论是从理论的角度进行介绍的，同时也参考了它们的物理意义和几何意义。这些思想将在第10章中用于处理线性映射
Ferrante Neri于2002年和2007年在意大利巴里大学分别获得电器工程硕士和博士学位。2019年，Ferrante Neri加入英国诺丁汉大学计算机科学学院。Ferrante Neri主要为计算机学院讲授数学。他在讲授线性代数和抽象代数方面有着长期特殊的经验。他的研究兴趣包括算法、混合启发式精确优化、优化的可扩展性和大规模问题。
目 录
译者序
序
第2版前言
第1版前言
第Ⅰ部分 线性代数基础
第1章 基本数学思维2
1.1 概述2
1.2 公理体系2
1.3 集合论中的基本概念3
1.4 函数7
1.5 数集8
1.6 代数结构入门10
习题11
第2章 矩阵13
2.1 数值向量13
2.2 矩阵的基本定义14
2.3 矩阵运算15
2.4 矩阵的行列式20
2.4.1 矩阵行向量、列向量的
线性相关性22
2.4.2 行列式的性质25
2.4.3 子矩阵、代数余子式和
伴随矩阵28
2.4.4 行列式的拉普拉斯定理30
2.5 可逆矩阵32
2.6 正交矩阵38
2.7 矩阵的秩40
习题50
第3章 线性方程组53
3.1 线性方程组的解53
3.2 齐次线性方程组60
3.3 直接法62
3.3.1 高斯消元法65
3.3.2 主元策略和计算量72
3.3.3 LU分解73
3.3.4 高斯消元法和LU分解的
等价性78
3.4 迭代法80
3.4.1 雅可比法81
3.4.2 高斯-赛德尔法86
3.4.3 超松弛法89
3.4.4 各种方法的数值比较与
收敛条件93
习题97
第4章 几何向量99
4.1 基本概念99
4.2 线性相关性和线性无关性102
4.3 向量矩阵110
4.4 向量的基114
4.5 向量的乘积118
习题123
第5章 复数及多项式124
5.1 复数124
5.2 复向量、矩阵和线性方程组129
5.3 复多项式134
5.3.1 多项式运算134
5.3.2 多项式的根137
5.4 部分分式144
习题148
第6章 几何代数学与二次曲线149
6.1 基本概念：平面上的直线149
6.1.1 直线方程149
6.1.2 相交直线151
6.1.3 直线族153
6.2 二次曲线的直观介绍154
6.3 二次曲线的解析表示156
6.4 二次曲线的简化表示156
6.4.1 退化二次曲线的简化表示156
6.4.2 非退化二次曲线的
简化表示157
6.5 二次曲线的矩阵表示164
6.5.1 二次曲线与直线相交164
6.5.2 二次曲线的切线165
6.5.3 退化和非退化二次曲线:
作为矩阵的二次曲线166
6.5.4 二次曲线的分类：二次曲线的
渐近方向167
6.5.5 二次曲线的直径、中心、
渐近线和轴172
6.5.6 二次曲线的标准形式179
习题181
第Ⅱ部分 线性代数高级主题
第7章 代数结构概述184
7.1 基本概念184
7.2 半群和幺半群184
7.3 群与子群188
7.3.1 陪集189
7.3.2 等价关系和同余关系190
7.3.3 拉格朗日定理193
7.4 环195
7.4.1 环的消去律198
7.4.2 域199
7.5 同态和同构200
习题202
第8章 向量空间203
8.1 基本概念203
8.2 向量子空间203
8.3 n个向量的线性相关210
8.4 线性生成空间213
8.5 向量空间的基和维数219
8.6 行空间和列空间230
习题232
第9章 内积空间入门：欧氏空间234
9.1 内积的概念234
9.2 欧氏空间235
9.3 二维欧氏空间237
9.4 格拉姆-施密特正交化240
习题243
第10章 线性映射244
10.1 介绍性概念244
10.2 线性映射和向量空间247
10.3 自同态与核249
10.4 线性映射的秩和零度254
10.4.1 线性映射的矩阵表示259
10.4.2 作为矩阵的线性映射：
小结264
10.4.3 可逆映射265
10.4.4 相似矩阵266
10.4.5 几何映射271
10.5 特征值、特征向量和特征空间273
10.6 矩阵的对角化283
10.7 幂方法296
习题298
第11章 计算复杂度导论300
11.1 算法复杂度和大O表示法300
11.2
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