本书在充分贯彻新课标要求的基础上，注重理论与实践相结合，力求语言精练，内容实用，且实例的操作步骤中配有对应的图示，易学易用。希望通过本书的学习，学生能够增强信息意识，树立正确的信息社会价值观和责任感，提高计算思维能力，为职业发展、终身学习和服务社会奠定基础。
“满分线性代数”是为考研学子精心打造的一门线上课程，“满分”一词的意义在于打消学生们的心理负担，增强学生们的学习信心。学完该课程，学生们不仅能掌握线性代数的基本知识，而且能够达到融会贯通的高阶性水平。该课程一方面要求学生达到“满分”，另一方面也获得了学生给出的“满分”评价（该课程在中国大学MOOC平台获得5星级评价），此外，该课程在b站的播放量高达354万，得到广大学员的高度好评。
本书是该课程的配套教材。本书参照教育部考试中心最新颁布的硕士研究生招生考试数学考试大纲编写而成，对数学一、数学二、数学三的考生具有普适性。针对准备参加2024年研究生入学考试的学生，本书第二版特别添加了2021、2022及2023年考研数学真题，这些真题分散于各章。该书具有以下特色：
（1） 特别适合参加研究生入学考试的同学复习使用；
（2） 特别适合零基础学生自学使用；
（3） 包含100个精细的考研知识点（参照教育部2023年考研大纲）；
（4） 深度剖析经典例题，每一个例题都包括思路、解题过程、评注，有的例题针对解题技巧和关键结论还给出了解题秘籍；
（5） 精选习题包含了近20年的考研真题；
（6） 提供了包含基本概念、典型例题、精选习题等330个教学讲解视频。
另外，为了更好地帮助同学们进行考研复习，教学团队开设了微信公众号：杨威满分线性代数，同学们可以在公众号里获得最新的考研线性代数学习资料。
微信公众号：杨威满分线性代数
最后，衷心祝福广大考研学子成功上岸！
编著者
2023年1月
第一章 矩阵及其运算 1
1.1 矩阵的概念 1
1.2 矩阵的运算初步 2
1.3 矩阵乘法运算的特点 3
1.4 矩阵乘法运算的规律 4
1.5 线性方程组和线性变换的矩阵表示 5
1.6 易错公式讨论 5
1.7 矩阵的转置 6
1.8 矩阵的逆 7
1.9 矩阵逆运算的规律 7
1.10 分块矩阵 8
1.11 初等变换 9
1.12 初等矩阵 10
1.13 典型例题分析 11
习题 19
第二章 行列式 23
2.1 二阶和三阶行列式 23
2.2 n阶行列式 24
2.3 简单行列式的计算 25
2.4 行列式的性质 27
2.5 行列式按行（列）展开 28
2.6 矩阵的行列式公式 29
2.7 伴随矩阵 30
2.8 克莱姆法则 31
2.9 特殊行列式的计算 32
2.10 对角（副对角）矩阵相关公式 35
2.11 分块对角（副对角）矩阵相关公式 36
2.12 矩阵运算规律 36
2.13 矩阵八类运算公式归纳 37
2.14 典型例题分析 39
习题 53
第三章 矩阵的秩与线性方程组 57
3.1 矩阵秩的定义 57
3.2 矩阵秩的求法 58
3.3 矩阵秩的性质 59
3.4 利用初等行变换解线性方程组 60
3.5 利用初等行变换解非齐次线性方程组举例 61
3.6 线性方程组解的判定 61
3.7 典型例题分析 62
习题 66
第四章 向量组的线性相关性 69
4.1 向量与向量组的概念 69
4.2 向量组间的线性表示 70
4.3 线性方程组的五种表示方法 70
4.4 用方程组的向量表示形式来分析线性方程组 72
4.5 向量组线性相关和线性无关的定义 72
4.6 向量组线性相关性与齐次线性方程组 73
4.7 向量组线性相关性的形象理解 73
4.8 特殊向量组的线性相关性 74
4.9 向量组的部分与整体定理 75
4.10 向量组的延伸与缩短 75
4.11 一个向量与一个向量组定理 76
4.12 向量组的极大线性无关组及秩 77
4.13 向量组的秩与向量的个数 78
4.14 “三秩相等”定理 78
4.15 向量组的等价 79
4.16 向量组间的线性表示与秩的定理 79
4.17 向量组的“紧凑性”与“臃肿性” 80
4.18 向量组的秩和极大无关组的求解 81
4.19 向量空间的定义（仅数学一要求） 81
4.20 向量空间的基与维数 （仅数学一要求） 82
4.21 n维实向量空间Rn （仅数学一要求） 82
4.22 向量在基下的坐标 （仅数学一要求） 83
4.23 过渡矩阵 （仅数学一要求） 83
4.24 向量的内积 84
4.25 向量的长度 84
4.26 向量的夹角 85
4.27 正交矩阵 86
4.28 解向量与自由变量 87
4.29 齐次线性方程组解向量的性质 87
4.30 齐次线性方程组的基础解系及通解 88
4.31 解空间（仅数学一要求） 89
4.32 非齐次线性方程组解的性质 89
4.33 非齐次线性方程组的通解 90
4.34 典型例题分析 90
习题 106
第五章 相似矩阵与二次型 111
5.1 特征值与特征向量 111
5.2 特征值及特征向量的求解 111
5.3 特征值的性质及定理 112
5.4 实对称矩阵的特征值与特征向量 115
5.5 相似矩阵的定义及性质 115
5.6 矩阵的相似对角化 116
5.7 矩阵相似对角化举例 117
5.8 二次型的概念 119
5.9 矩阵的合同 119
5.10 二次型的标准形及规范形 120
5.11 正交变换法化二次型为标准形 120
5.12 配方法化二次型为标准形 122
5.13 惯性定理 124
5.14 正定的定义及性质 124
5.15 等价、相似和合同的判定与关系 125
5.16 典型例题分析 126
习题 149
附录 154
附录A 易错与易混淆的问题 154
附录B 思维导图 162
附录C 各章习题参考答案 168
参考文献 175
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