《山东省专升本考试考前押密试卷·高等数学》共包含10套考前押密试卷, 每一套卷每一题均由中公教育山东专升本考试研究院经过精心打磨研发而成。8套试卷严格按照最新真题及考试要求全新研发, 题型、题量及试题难易程度均与历年真题保持一致。同时试卷严格按照真题的版式编排, 让考生提前体验考场考试的感觉, 以达到具备真正进入考场时能够迅速进入考试状态的能力。8套试卷在深入研究历年真题的基础上, 总结历年真题中的高频考点, 并根据重要知识点出题, 突出命题重点, 避免浪费考生宝贵的复习时间, 以使考生在短期内尽快温习以及回顾。
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山东省普通高等教育专升本考试
高等数学考前押密试卷（一）考试科目高等数学
考生姓名
考生编号
报考单位注
意
事
项1答题前，考生须按规定将考生姓名、考生编号和报考单位填写到试卷规定的位置上，并在答题卡上填（涂）对应的信息。
2所有答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出各题答题区域的答案无效。在草稿纸、试题上作答无效。
3考试结束后，将试题和答题卡一并交回。
高等数学考前押密试卷（一）第页（共12页）山东省普通高等教育专升本考试
高等数学考前押密试卷（一）第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1极限limn→∞3n5n=（）
A 35B 53
C 1D 0
2曲线y=2x2-100x(x+1)2的水平渐近线为（）
A y=1B y=2
C x=-1D x=50
3设函数y=f(x)在［a,b］上连续，则下列结论不正确的是（）
A若∫baf2(x)dx=0，则在［a,b］上f(x)=0
B ddx∫2xxf(x)dx=f(2x)-f(x)，其中x,2x∈［a,b］
C若f(a)f(b)<0，则在［a,b］内存在一点ξ，使得f(ξ)=0
D若函数f(x)在［a,b］上大值为M、小值为m，则m(b-a)≤∫baf(x)dx≤M(b-a)
4微分方程dxy+dyx=0的通解为（）
A x2+y2=CB y=2e2x+C
C y=e2x+CD x2-y2=C
5交换积分次序：∫0-1dx∫1-xf(x,y)dy=（）
A ∫0-1dy∫1-yf(x,y)dxB ∫10dy∫-y0f(x,y)dx
C ∫10dy∫1-yf(x,y)dxD ∫10dy∫0-yf(x,y)dx
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6函数y=5-x+lg(x-1)的定义域为。
7设函数f(x)=x1+x，则f［f(x)］=。
8曲线y=x5在x=1处的切线方程为。
9曲线y=x2，y=1和x=2所围成的平面图形的面积为。
10若z=ln(x2+y2)，则全微分dz=。
三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共56分，计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分）11求极限limx→12x2-1-1x-1。
12求极限limx→0∫x0tarctantdtx3。
13已知函数f(x)=x2-b，x>0,1，x=0,aex+b，x<0在点x=0处连续，求实数a，b的值。
14求不定积分∫1ex+e-xdx。
15求定积分∫10x2xdx。
16求微分方程dydx+3y=e2x的通解。
17设函数u=ln(x2+y)，求2uxy。
18求二重积分D(x+y)dxdy，其中D为由直线y=-x，y=1和x=0所围成的平面闭区域。
四、应用题（本大题共1小题，每小题7分，共7分）19某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，每多生产1吨该产品，成本增加5万元。该产品的边际收益函数为R′(Q)=10－002Q，其中Q（单位：吨）为产量。试求：
（1）该产品的边际成本函数；
（2）该产品的总收入函数；
（3）Q为多少时，该厂总利润L大，大利润是多少？
五、证明题（本大题共1小题，每小题7分，共7分）20设函数f(x)在闭区间［0,π］上连续，在开区间(0,π)内可导。
证明：在开区间(0,π)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。
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高等数学考前押密试卷（一）参考答案及解析第Ⅰ卷一、单项选择题
1【答案】D
【解析】limn→∞3n5n=limn→∞35n=0。
2【答案】B
【解析】limx→∞2x2-100x(x+1)2=limx→∞2x2-100xx2+2x+1
=limx→∞2-100x1+2x+1x2=2，
所以y=2为曲线的一条水平渐近线。
3【答案】B
【解析】A项，由定积分的几何意义可知，f2(x)≥0，∫baf2(x)dx为f2(x)在［a,b］上与x轴围成的面积，该面积为0，故f(x)=0，A项正确。
B项，由变限积分求导公式可得
ddx∫2xxf(x)dx=ddx∫2x0f(x)dx-ddx∫x0f(x)dx=2f(2x)-f(x)，
故B项不正确。
C项，零点定理：设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且f(a)与f(b)异号，即f(a)f(b)<0，那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0。由零点定理可知，C项正确。
D项，由积分估值定理可知，若x∈(a,b)，m≤f(x)≤M，则
∫bamdx≤∫baf(x)dx≤∫baMdx，
即m(b-a)≤∫baf(x)dx≤M(b-a)，
故D项正确。
4【答案】A
【解析】原方程为可分离变量的微分方程，则方程分离变量可得ydy=-xdx，两边积分得∫ydy=-∫xdx，故
12y2=-12x2+C1，
即x2+y2=C。
5【答案】D
【解析】积分区域如图所示。
交换积分次序前积分区域可表示为-1≤x≤0,-x≤y≤1,交换积分次序后积分区域可表示为0≤y≤1,-y≤x≤0。
所以二次积分交换积分次序可得
∫0-1dx∫1-xf(x,y)dy=∫10dy∫0-yf(x,y)dx。
第Ⅱ卷
二、填空题
6【答案】(1,5］
【解析】由题意可得5-x≥0,x-1>0,则x≤5,x>1,即1 7【答案】x1+2x
【解析】f［f(x)］=f(x)1+f(x)=x1+x1+x1+x=x1+2x。
8【答案】5x-y-4=0
【解析】由求导法则可得y′=5x4，则y′(1)=5。
又因为当x=1时，y=1。
故所求切线方程为y-1=5(x-1)，即5x-y-4=0。
9【答案】43
【解析】如图所示，由定积分的几何意义可知，所围成的平面图形的面积为
S=∫21(x2-1)dx=13x3-x21=43。
10【答案】2xx2+y2dx+2yx2+y2dy
【解析】因为
zx=2xx2+y2，
zy=2yx2+y2，
所以
dz=zxdx+zydy
=2xx2+y2dx+2yx2+y2dy。
三、计算题
11【解析】limx→12x2-1-1x-1=limx→12-(x+1)(x+1)(x-1)
=limx→1-(x+1)(x+1)(x-1)=limx→1-1x+1=-12。
12【解析】limx→0∫x0tarctantdtx3=limx→0xarctanx3x2=limx→0x23x2=13。
13【解析】由于f(x)在x=0处连续，故
limx→0+f(x)=limx→0-f(x)=f(0)。
因为
limx→0+(x2-b)=-b,
limx→0-(aex+b)=a+b,
f(0)=1,
所以-b=a+b=1，则a=2,b=-1。
14【解析】∫1ex+e-xdx=∫exe2x+1dx
=∫1(ex)2+1dex=arctanex+C，
其中C为任意常数。
15【解析】∫10x2xdx=1ln2∫10xd2x=1ln2［x2x］10-∫102xdx
=1ln22-2xln210=1ln22-1ln2。
16【解析】由一阶线性微分方程的通解公式可得
y=e-∫3dx∫e2x·e∫3dxdx+C
=e-3x∫e2x·e3xdx+C
=Ce-3x+e-3x∫e5xdx=Ce-3x+15e2x，
其中C为任意常数。
17【解析】由求导法则可得
ux=2xx2+y，
则2uxy=-2x(x2+y)2。
18【解析】积分区域如图所示。
方法一：D(x+y)dxdy=∫10dy∫0-y(x+y)dx
=∫10y22dy=16y310=16。
方法二：D(x+y)dxdy=∫0-1dx∫1-x(x+y)dy
=∫0-112x2+x+12dx
=16x3+12x2+12x0-1=16。
四、应用题
19【解析】（1）因为总成本=固定成本+可变成本，则总成本函数为C=5Q+200，所以边际成本函数为C′=5。
（2）由定积分在经济学中的应用可知，总收入函数为
R（Q）=∫Q0R′(Q)dQ=∫Q0(10－002Q)dQ=10Q－001Q2。
（3）当C′=R′时，L大，即10－002Q=5，解得Q=250，故总利润函数为L(Q)=R(Q)－C(Q)，则
L′(Q)=R′(Q)－C′(Q)=5－002Q，
令L′(Q)=0，得Q=250。因为L″(Q)=－002<0，所以Q=250为函数的极大值点，也为大值点，即当Q=250（吨）时，总利润大，且大利润为425万元。
五、证明题
20【证明】令F(x)=f(x)sinx，显然F(x)在［0,π］上连续，在(0,π)内可导，又因为F(0)=F(π)=0，则由罗尔定理可知，存在ξ∈(0,π)，使得F′(ξ)=0，即f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。
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