本书是以国家教育部高等工科数学课程教学指导委员会制定的《高等数学课程教学基本要求》为标准编写而成的。书中渗透了不少现代数学观点及数学文化，增加了部分数学实验的内容，以培养学生的专业素质、提高学生应用数学的能力为目的，充分吸收了编者多年来的教学实践与教学改革成果。
本书内容包括向量代数与空间解析几何、多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数。 每节后配有相应的习题，每章末配有综合练习，书末附有部分习题的参考答案。
本书适用于普通高等院校本、专科高等数学课程的教学，也可作为科技工作者的参考用书。
前 言
科学的飞速发展和计算机的快速普及，使得数学在其他科学领域中的应用空前广泛，社会各个领域对数学的需求也越来越多，对各专业人才的数学素养要求也越来越高。 本书是以国家教育部高等工科数学课程教学指导委员会制定的《 高等数学课程教学基本要求》为标准，以提高学生的专业素质为目的，在充分吸收编者多年来的教学实践和教学改革成果的基础上编写而成的。
“高等数学” 是高校的基础课程之一，这门课程的思想和方法是人类文明发展史上理性智慧的结晶，它不仅提供了解决实际问题的有力的数学工具，同时还给学生提供了一种思维的训练方法，帮助学生提高作为应用型、创造型、复合型人才所必需的文化素质和修养。 本书在编写过程中，注重强调数学的思想方法，重点培养学生的数学思维能力，并力求提高学生的数学素养，从而体现出数学既是一种工具、同时也是一种文化的思想。 在内容选取上删去了传统本科教材中难而繁的内容，保留了高等数学在传统领域中的知识内容，渗透了不少现代数学观点，增加了一批各学科领域中的应用型例题以及以往传统教材中没有的数学实验，以利于学生更好地利用计算机来应用数学。 通过对本书的学习，学生不仅达到会数学、更达到会用数学的目的。
本书对数学的基本概念和原理的讲述通俗易懂，同时又兼顾了数学的科学性与严谨性；对定义和定理等的叙述准确、清晰，并在节后配有相应的习题，每章末配有综合练习。 本书适用于普通高等院校本、专科高等数学课程的教学，也可作为科技工作者的参考用书。
参加本书编写的人员有杜洪艳、胡满姑、韩世勤、高萍、朱小红、洪宁、栗慧等。 全书的框架结构、统稿及定稿由主编杜洪艳负责。
由于编者水平有限，书中难免有不妥之处，恳请专家及读者批评指正。
编 者
目 录
前 言
第8 章 向量代数与空间解析几何……… 1
8. 1 空间直角坐标系…………………… 1
8. 1. 1 空间直角坐标系的建立…………… 1
8. 1. 2 点的坐标的确定………………… 2
8. 1. 3 空间中两点间的距离……………… 2
习题8. 1 ………………………………… 3
8. 2 向量及其线性运算………………… 4
8. 2. 1 向量的概念……………………… 4
8. 2. 2 向量的加法……………………… 4
8. 2. 3 向量的减法……………………… 5
8. 2. 4 向量与数的乘法………………… 5
∗8. 2. 5 线性运算的抽象化………………… 7
习题8. 2 ………………………………… 8
8. 3 向量的坐标表达式………………… 8
8. 3. 1 向径的坐标表达式………………… 8
8. 3. 2 一般向量的坐标表达式…………… 9
8. 3. 3 向量线性运算的坐标表达形式………… 10
8. 3. 4 向量的模与方向余弦…………… 11
8. 3. 5 向量在轴上的投影……………… 12
习题8. 3 ………………………………… 13
8. 4 向量的乘积……………………… 13
8. 4. 1 两个向量的数量积……………… 13
8. 4. 2 两个向量的向量积……………… 15
习题8. 4 ………………………………… 18
8. 5 平面及其方程…………………… 19
8. 5. 1 平面的点法式方程……………… 19
8. 5. 2 平面的一般式方程……………… 20
8. 5. 3 平面的截距式方程……………… 22
8. 5. 4 两平面的夹角及两平面垂直或平行的条件…… 23
8. 5. 5 点到平面的距离………………… 24
习题8. 5 ………………………………… 25
8. 6 空间直线及其方程……………… 25
8. 6. 1 空间直线的一般式方程………… 26
8. 6. 2 空间直线的对称式方程与参数方程……… 27
8. 6. 3 两直线的夹角及两直线的平行或垂直的条件… 28
8. 6. 4 直线与平面的夹角……………… 29
习题8. 6 ………………………………… 31
8. 7 曲面及其方程…………………… 32
8. 7. 1 曲面的方程……………………… 32
8. 7. 2 球面及其方程…………………… 33
8. 7. 3 旋转曲面及其方程……………… 33
8. 7. 4 柱面及其方程…………………… 35
习题8. 7 ………………………………… 37
8. 8 空间曲线及其方程……………… 37
8. 8. 1 空间曲线的一般方程…………… 37
8. 8. 2 空间曲线的参数方程…………… 39
8. 8. 3 空间曲线在坐标平面上的投影…… 40
习题8. 8 ………………………………… 41
8. 9 二次曲面………………………… 42
8. 9. 1 椭球面………………………… 43
8. 9. 2 椭圆锥面………………………… 44
8. 9. 3 单叶双曲面……………………… 44
8. 9. 4 双叶双曲面……………………… 44
8. 9. 5 椭圆抛物面……………………… 44
8. 9. 6 双曲抛物面……………………… 45
习题8. 9 ………………………………… 45
8. 10 综合例题选讲…………………… 45
∗8. 11 空间解析几何与向量代数的MATLAB 实现… 54
∗习题8. 11 ……………………………… 59
综合练习8 ……………………………… 59
第9 章 多元函数微分学………………… 62
9. 1 多元函数的基本概念…………… 62
9. 1. 1 区域…………………………… 62
9. 1. 2 二元函数的概念………………… 64
9. 1. 3 二元函数的极限………………… 65
9. 1. 4 二元函数的连续性……………… 66
习题9. 1 ………………………………… 68
9. 2 偏导数…………………………… 69
9. 2. 1 偏导数的概念…………………… 69
9. 2. 2 偏导数的计算…………………… 70
9. 2. 3 偏导数的几何意义……………… 71
9. 2. 4 偏导数的经济意义……………… 72
9. 2. 5 高阶偏导数……………………… 72
习题9. 2 ………………………………… 74
9. 3 全微分…………………………… 75
9. 3. 1 全微分的概念…………………… 75
9. 3. 2 可微分的条件…………………… 76
9. 3. 3 全微分在近似计算中的应用……… 77
习题9. 3 ………………………………… 78
9. 4 复合函数微分法………………… 78
9. 4. 1 全导数………………………… 78
9. 4. 2 多个自变量复合的情形………… 80
9. 4. 3 全微分形式的不变性…………… 82
9. 4. 4 复合函数的高阶偏导数………… 83
习题9. 4 ………………………………… 83
9. 5 隐函数的微分法………………… 84
9. 5. 1 一个方程确定的隐函数………… 84
9. 5. 2 方程组确定的隐函数…………… 86
习题9. 5 ………………………………… 88
9. 6 方向导数与梯度………………… 89
9. 6. 1 方向导数………………………… 89
9. 6. 2 梯度…………………………… 91
习题9. 6 ………………………………… 93
9. 7 多元函数微分学在几何上的应用……… 94
9. 7. 1 空间曲线的切线和法平面………… 94
9. 7. 2 曲面的切平面与法线…………… 97
习题9. 7 ………………………………… 98
9. 8 多元函数的极值………………… 99
9. 8. 1 二元函数极值的概念…………… 99
9. 8. 2 二元函数极值存在的必要条件…… 99
9. 8. 3 二元函数极值存在的充分条件… 100
9. 8. 4 最大值与最小值………………… 102
习题9. 8 ……………………………… 103
∗9. 9 最小二乘法……………………… 103
习题9. 9 ……………………………… 105
9. 10 约束最优化问题……………… 105
9. 10. 1 约束最优化问题的提法………… 105
9. 10. 2 拉格朗日乘数法……………… 106
习题9. 10 ……………………………… 109
∗9. 11 多元函数微分学的MATLAB实现… 110
∗习题9. 11 ……………………………… 113
综合练习9 …………………………… 113
第10 章 重积分………………………… 115
10. 1 二重积分……………………… 115
10. 1. 1 二重积分的引入……………… 115
10. 1. 2 二重积分的定义……………… 116
10. 1. 3 二重积分的性质……………… 117
习题10. 1 ……………………………… 119
10. 2 二重积分的计算……………… 119
10. 2. 1 二重积分在直角坐标系中
的计算………………………… 119
10. 2. 2 二重积分在极坐标系中的计算… 123
习题10. 2 ……………………………… 126
10. 3 三重积分……………………… 127
10. 3. 1 三重积分的定义及性质………… 127
10. 3. 2 三重积分在直角坐标系中的计算……… 128
10. 3. 3 三重积分在柱面坐标系中的计算………… 131
10. 3. 4 三重积分在球面坐标系中的计算………… 132
习题10. 3 ……………………………… 133
10. 4 重积分的应用………………… 134
10. 4. 1 二重积分在几何上的应用……… 135
10. 4. 2 二重积分在物理上的应用……… 137
习题10. 4 ……………………………… 141
10. 5 典型例题选讲………………… 141
∗10. 6 重积分的MATLAB 实现……… 145
10. 6. 1 计算积分的MATLAB 符号法…… 145
10. 6. 2 重积分的数值积分法………… 146
∗习题10. 6 ……………………………… 148
综合练习10 …………………………… 149
第11 章 曲线积分与曲面积分………… 151
11. 1 对弧长的曲线积分…………… 151
11. 1. 1 对弧长的曲线积分的概念与性质……… 151
11. 1. 2 对弧长的曲线积分的计算……… 153
习题11. 1 ……………………………… 155
11. 2 对坐标的曲线积分…………… 155
11. 2. 1 对坐标的曲线积分的概念与性质…… 155
11. 2. 2 对坐标的曲线积分的计算法…… 158
∗ 11. 2. 3 两类曲线积分的关系………… 162
习题11. 2 ……………………………… 163
11. 3 格林公式及其应用…………… 164
11. 3. 1 格林公式……………………… 164
11. 3. 2 平面上曲线积分与路径无关的条件…… 167
11. 3. 3 二元函数的全微分求积………… 168
习题11. 3 ……………………………… 171
11. 4 对面积的曲面积分…………… 172
11. 4. 1 对面积的曲面积分的概念……… 172
11. 4. 2 对面积的曲面积分的计算法…… 173
习题11. 4 ……………………………… 175
11. 5 对坐标的曲面积分…………… 175
11. 5. 1 有向曲面的概念……………… 175
11. 5. 2 对坐标的曲面积分的概念……… 176
11. 5. 3 对坐标的曲面积分的计算……… 179
∗ 11. 5. 4 两类曲面积分之间的联系……… 182
习题11. 5 ……………………………… 184
11. 6 高斯公式与斯托克斯公式…… 185
11. 6. 1 高斯公式……………………… 185
11. 6. 2 斯托克斯公式………………… 188
∗ 11. 6. 3 空间曲线积分与路径无关的条件…… 191
习题11. 6 ……………………………… 192
∗11. 7 场论初步……………………… 193
11. 7. 1 场的概念……………………… 193
11. 7. 2 梯度场………………………… 194
11. 7. 3 散度场………………………… 194
11. 7. 4 旋度场………………………… 196
习题11. 7 ……………………………… 197
综合练习11 …………………………… 198
第12 章 无穷级数……………………… 200
12. 1 常数项级数…………………… 200
12. 1. 1 常数项级数的概念…………… 200
12. 1. 2 级数的基本性质……………… 203
习题12. 1 ……………………………… 205
12. 2 常数项级数敛散性判别……… 205
12. 2. 1 正项级数审敛准则…………… 205
12. 2. 2 任意项级数审敛法则………… 210
习题12. 2 ……………………………… 213
12. 3 幂级数………………………… 213
12. 3. 1 函数项级数的概念…………… 213
12. 3. 2 幂级数及其敛散性…………… 214
12. 3. 3 幂级数收敛半径与收敛区间…… 216
12. 3. 4 幂级数的运算性质…………… 217
习题12. 3 ……………………………… 219
12. 4 函数
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